Question

6．設函數f（x）=x²-alnx-（a-2）x
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，求滿足條件的最小正整數a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導數的運算法則即可得出f′（x），并對a分類討論即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，結合根的存在性原理，可以判斷存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，當a＞a₀，h（a）＞0；

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2x-（a-2）-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（a-2）x-a}}{x}=\frac{（2x-a）（x+1）}{x}$．
當a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以函數f（x）單調遞增區(qū)間為（0，+∞），此時f（x）無單調減區(qū)間．
當a＞0時，由f′（x）＞0，得$x＞\frac{a}{2}$，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$，得$0＜x＜\frac{a}{2}$，
所以函數的單調增區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，+∞），單調減區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數f（x）有兩個零點，
所以a＞0，f（x）的最小值$f（\frac{a}{2}）＜0$，即-a²+4a-4aln$\frac{a}{2}$＜0．
因為a＞0，所以$a-4+4ln\frac{a}{2}＞0$．
令h（a）=a-4+4ln$\frac{a}{2}$，顯然h（a）在（0，+∞）上為增函數，且h（2）=-2＜0，h（3）=4ln$\frac{3}{2}$-1＞0，
所以存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0．
當a＞a₀時，h（a）＞0；當0＜a＜a₀時，h（a）＜0，
所以滿足條件的最小正整數a=3．
又當a=3時，F(xiàn)（3）=3（2-ln3）＞0，F(xiàn)（1）=0，
所以a=3時，f（x）有兩個零點．
綜上所述，滿足條件的最小正整數a的值為3．

點評 本題考查了利用導數求函數的單調區(qū)間以及根的存在性原理的運用．