Question

（2011•南昌三模）已知函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），當(dāng)1＜x＜3時，f（x）=1-|x-2|，那么x∈[1，3ⁿ]，n∈N^*時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積為

9n-1

8

．

Answer 1

分析：由已知中當(dāng)1＜x＜3時，f（x）=1-|x-2|，函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），我們可以分別求出x∈[3^n-1，3ⁿ]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S_n-1，代入等比數(shù)列前n項和公式，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），
又∵當(dāng)x∈[1，3]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₁=

1

2

•(3-1)•1=1，
∴當(dāng)x∈[3¹，3²]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₂=

1

2

•(3 2-3 1)•3 1=9，
當(dāng)x∈[3²，3³]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₃=

1

2

•(3 3-3 2)•3 2=81，
…
當(dāng)x∈[3^n-1，3ⁿ]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S_n-1=

1

2

•(3 n-3 n-1)•3 n-1=3^2n-2
此時函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=

9n-1

8

故答案為：

9n-1

8

點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的前n項和，其中根據(jù)已知條件，確定出當(dāng)x∈[3^n-1，3ⁿ]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積，成等比數(shù)列，并求出其通項公式，是解答本題的關(guān)鍵．