Question

已知{an}是正數組成的數列，a1＝1，且點(，an＋1)( n ∈N*)在函數y＝x2＋1的圖象上．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若數列 滿足b1＝1，，求證：．

 

Answer 1

(1); (2) 證明過程見試題解析．

【解析】

試題分析：(1)將點的坐標代入函數可得an＋1－an＝1，知是以1為公差，1為首項的等差數列，可得通項公式；(2)由所給條件，可得，對n分別取值后，用累加法得出的通項公式，則，命題可證．

【解析】
(1) 由已知得an＋1＝an＋1，則an＋1－an＝1，又a1＝1，

所以數列{an}是以1為首項，1為公差的等差數列,

故an＝1＋(n－1)1＝n． 4分

(2)由(1)知，an＝n，從而－＝2n．

＝(－)＋(－)＋ ＋(b2－b1)＋b1 ,

＝2n－1＋2n－2＋ ＋2＋1＝＝－1．

因為＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2

＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1),

＝<0，

所以． 12分

考點：等差數列的通項公式．累加法求數列的通項公式．