Question

已知數列{a_n}是等比數列，a₄=e，如果a₂，a₇是關于x的方程：兩個實根，（e是自然對數的底數）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設：b_n=lna_n，S_n是數列{b_n}的前n項的和，當：S_n=n時，求n的值；
（3）對于（2）中的{b_n}，設：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是數列{c_n}的前n項和，求T_n的最大值，及相應的n的值．

Answer 1

解：（1）∵a₂，a₇是關于x的方程：兩個實根，
∴a₂a₇=
∴a₁²q⁷= ①
∵a₄=e，②
得a₁q⁴==a₅
∴q=e^-3
∴數列的通項是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13
（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，
∴數列{b_n}是一個等差數列
∴數列{b_n}的前n項的和S_n是=-，
∴S_n=n時，有，
∴n=7，n=0（舍去）
∴n=7即n的值為7．
（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5
∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，從第五項開始，這個數列的項就是負數，
∵T₁=280，
T₂=308
T₃=300
T₄=310
T₅一定小于T₄，
T₆一定小于T₅，依此類推
∴T_n的最大值310，相應的n的值是2．
分析：（1）根據數列的兩項是一元二次方程根，根據根與系數的關系，表示出兩個項的積，用首項和公比表示出來，同第四項作比，得到第五項，得到公比，寫出數列的通項．
（2）構造出新數列，表示出新數列的通項，得到一個等差數列，根據等差數列的前n項和公式，表示出前n項和，使它等于n，解關于n的方程，得到結果．
（3）列舉出數列{b_n}的前六項，進而列舉出數列{c_n}的前四項，求出數列的前幾項的和，觀察出后面的項都是負數，只有前幾項的和可能取得最大值，比較得到結果．
點評：本題考查數列的求和，考查等比數列的通項公式及等差數列的前n項和，本題解題的關鍵是采用列舉的方法對數列的前幾項的和表示出來，進行分析，注意數字的運算不要出錯，本題是一個中檔題目．