已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式（x＞0，x≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若不等式數(shù)學(xué)公式對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，+∞），，…（3分）
令f'（x）=0，解得x=e，列表
x（0，1）（1，e）e（e，+∞）
f'（x）--0+
（0，1）單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值f（e）單調(diào)遞增
由表得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（1，e），單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）；
所以極小值為f（e）=e，無極大值．
（2）當x≤0時，對任意a≠0，不等式恒成立；
當x＞0時，在兩邊取自然對數(shù)，得，
1°當0＜x≤1時，lnx≤0，當a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等價于，
由（1）得，此時，不等式不恒成立．
2°當x＞1時，lnx＞0，則a＞0，不等式等價于，由（1）得，此時的最小值為e，得0＜a＜e．…（14分）
綜上：a的取值范圍是0＜a＜e．
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定函數(shù)f（x）的極值；
（2）當x≤0時，對任意a≠0，不等式恒成立；當x＞0時，在兩邊取自然對數(shù)，得，再分0＜x≤1，x＞1，進行討論，進而可求a的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有綜合性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=alnx-
1x
，a∈R．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=
|x+m-1|x-2
，m＞0且f（1）=-1．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，m-1]上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）求實數(shù)k的取值范圍，使得關(guān)于x的方程f（x）=kx分別為：
①有且僅有一個實數(shù)解；
②有兩個不同的實數(shù)解；
③有三個不同的實數(shù)解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：必修一教案數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝loga(a＞0，a≠1)，

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判定函數(shù)f(x)的奇偶性；

(3)求使f(x)＞0的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省正定中學(xué)2010屆高三上學(xué)期第一次月考(數(shù)學(xué)文) 題型：044

已知函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)－f(x)－f(y)＋2成立，且x＞0時，f(x)＞2．

(1)求f(0)的值，并證明：當x＜0時，1＜f(x)＜2；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明．

(3)若函數(shù)g(x)＝|f(x)－k|在(－∞，0)上遞減，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆黑龍江虎林高中高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是

 

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