Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C：y=mx²（m＞0）的焦點(diǎn)，線段MF恰被拋物線C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)M作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線FA、FM、FB的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問k₁，k₂，k₃能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定焦點(diǎn)F的坐標(biāo)、線段MF的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求m的值；
（Ⅱ）設(shè)出l方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及k₁，k₂，k₃能成公差不為零的等差數(shù)列，可得方程，即可求得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，線段MF的中點(diǎn)在拋物線C上，
∴，∴8m²+2m-1=0，∴（舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：拋物線C：x²=4y，F(xiàn)（0，1）．
設(shè)l方程為：，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由得：x²-4kx+8k+2=0，△=16k²-4（8k+2）＞0，
解得或． 
由韋達(dá)定理可得，，…（8分）
假設(shè)k₁，k₂，k₃能成公差不為零的等差數(shù)列，則k₁+k₃=2k₂．
而
=，…（11分）
∵，∴，8k²+10k+3=0，解得：（符合題意），（此時(shí)直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，k₁=k₂=k₃，不合題意，舍去），…（14分）
直線l的方程為，即x+2y-1=0．
故k₁，k₂，k₃能成公差不為零的等差數(shù)列，直線l的方程為：x+2y-1=0． …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．