Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最大距離為5；
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M在直線l：x=t（t＞2）上的射影為N，若，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的離心率為，得=，由橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最大距離為5，得a+c=5，再由a，b，c的關(guān)系式，就可解出a，b的值，得到橢圓方程．
（2）設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立，解得x₁+x₂，x₁x₂，利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|長(zhǎng)．因?yàn)镸在直線l：x=t（t＞2）上的射影為N，可求出|MN|的長(zhǎng)，由M為線段AB的中點(diǎn)，可得|AB|=2|MN|，把前面求出的|AB|長(zhǎng)與|MN|的長(zhǎng)代入，就可得到關(guān)于k，t的等式，用k表示t，再根據(jù)k的范圍求出t的范圍即可．
解答：解：（1）依題意，得，解得，a=3，c=2，由b2=a2-c2，得b=，
∴橢圓方程為
（2）設(shè)直線AB方程為y=k（x-2），代入橢圓中，得
（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0
∵直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
有△（36k²）²-4（9k²+5）（36k²-45）=25×36（k²+1）＞0
|AB|==
又由|MN|=t-=t-，又∵Rt△ABN中，M為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴|AB|=2|MN|，即=2t-
解得，t==
∵k²≥0，∴，
，

∴t的取值范圍為[3，）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓相交時(shí)弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，分離變量求參數(shù)的取值范圍，屬于圓錐曲線的綜合題．