Question

5．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，并且x+2y≥m²-2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，4]．

Answer 1

分析 由已知利用基本不等式求出x+2y的最小值，代入m²-2m≤8求得m的范圍得答案．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}$$≥4+2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}=8$，
上式當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=4，y=2時(shí)等號成立．
不等式x+2y≥m²-2m恒成立，即m²-2m≤8恒成立，
解得-2≤m≤4．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，4]．
故答案為：[-2，4]．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是“1”的應(yīng)用，是中檔題．