Question

如圖，幾何體EF-ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求證：AC⊥FB
（2）求幾何體EF-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AD⊥FC，然后證明FC⊥平面ABCD，推出AC⊥平面FCB，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥FB；
（2）利用幾何體的體積V=V_E-ABCD+V_B-CEF，分別求得兩個(gè)棱錐的底面面積與高，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答： 解：（1）證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…2分
∵四邊形CDEF為正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D，∴FC⊥平面ABCD
∴FC⊥AC…4分
又∵四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴AC=2

2

，BC=2

2

則有AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，
∴AC⊥FB…6分
（2）連結(jié)EC，過B作CD的垂線，垂足為N，

易見BN⊥平面CDEF，且BN=2．…8分
∵V_EF-ABCD=V_E-ABCD+V_B-ECF…9分
=

1

3

S△ABCD•DE+

1

3

S△EFC•BN=

16

3

…11分
∴幾何體EF-ABCD的體積為

16

3

…12分

點(diǎn)評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與直線的垂直，直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．