Question

（2013•濟(jì)南二模）已知函數(shù)f(x)=4sinωxcos(ωx+

π

3

)+

3

(ω＞0)的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2ωx+

π

3

)，再根據(jù)最小正周期為π求得ω的值，即可進(jìn)一步確定函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)-

π

4

≤x≤

π

6

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值，及取得最值時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵f(x)=4sinωx(cosωxcos

π

3

-sinωxsin

π

3

)+

3

，------（1分）
=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx---（3分）
=2sin(2ωx+

π

3

)．--------（4分）
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，----（5分）
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)．------（6分）
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，即-1≤f（x）≤2，--------（9分）
當(dāng)2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

時(shí)，f（x）_min=-1，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時(shí)，f（x）_max=2．-----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．