Question

已知f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，θ∈R．
（1）對任意m∈R，求f（θ）的最大值g（m）；
（2）若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0對于任意θ∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先對函數(shù)關系式進性恒等變換，把函數(shù)關系式變形成二次函數(shù)的形式，進一步對m的范圍進行討論，利用不同的m的求出函數(shù)的值．
（2）利用（1）的結論，要使函數(shù)的關系式恒成立只需滿足函數(shù)的最大值大于0即可，進一步確定m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2
=-（sinθ-m）²+m²-2m-1．
①當-1＜m＜1時，函數(shù)f（θ）_max=m²-2m-1，
即：g（m）=m²-2m-1；
②當m≥1時，f(θ)max=-(1-m)2+m2-2m-1，
即：g（m）=-2；
③當m≤-1時，f(θ)max=-(-1-m)2+m2-2m-1，
即：g（m）=-4m-2；
綜上所述：g(m)=

m2-2m-1(-1＜m＜1) -2(m≥1) -4m-2(m≤-1)

．
（2）由（1）得：g(m)=

m2-2m-1(-1＜m＜1) -2(m≥1) -4m-2(m≤-1)

，
若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0對于任意θ∈R恒成立，只需滿足恒成立即可．
即：g（m）_max＜0，
①當-1＜m＜1時，m²-2m-1＜0，
解得：1-

2

＜m＜1；
②當m≥1時，-2＜0恒成立；
③當m≤-1時，-4m-2＜0，
解得：m＞-

1

2

，出現(xiàn)矛盾；
則：m的范圍為：(1-

2

，+∞)．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，分來討論思想的應用，分段函數(shù)的應用，分離參數(shù)法的應用，屬于基礎題型．