Question

已知函數(shù)f（x）=ax-xlnx，a∈R．
（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（2）設n∈N^*，求證：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax-xlnx，a∈R．x＞0．f（x）≤1恒成立?a≤(

1

x

+lnx)min．令g（x）=

1

x

+lnx（x＞0），利用導數(shù)求出最小值即可得出．
（2）由（1）可得：當x＞1時，

1

x

+lnx＞1，化為lnx＞1-

1

x

，令x=1+

1

n

，n∈N^*，n≥2．可得ln(1+

1

n

)＞1-

n

1+n

=

1

1+n

，可得ln（1+n）-lnn＞

1

1+n

，分別取n=1，2，3，…，利用“累加求和”．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=ax-xlnx，a∈R．x＞0．f（x）≤1恒成立?a≤(

1

x

+lnx)min．
令g（x）=

1

x

+lnx（x＞0），g′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
當x＞1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調遞增；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調遞減．
∴g（x）_min=g（1）=1，∴a≤1．
∴a的取值范圍是（-∞，1]．
（2）證明：由（1）可得：當x＞1時，

1

x

+lnx＞1，
化為lnx＞1-

1

x

，
令x=1+

1

n

，n∈N^*，n≥2．
則ln(1+

1

n

)＞1-

n

1+n

=

1

1+n

，
∴l(xiāng)n（1+n）-lnn＞

1

1+n

，
分別取n=1，2，3，…，
可得ln2-ln1＞

1

2

，
ln3-ln2＞

1

3

，
…，
ln（n+1）-lnn＞

1

1+n

．
累加求和可得：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值最值、恒成立問題的等價轉化方法，考查了利用已經(jīng)證明的結論證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．