【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點(diǎn)E在線段AB上.過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點(diǎn)A與P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求證:EF⊥PB.
(2)試問(wèn):當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí),二面角PFCB的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,說(shuō)明理由.
【答案】⑴見(jiàn)證明;⑵當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí),二面角PFCB的平面角的余弦值為定值,且定值為.
【解析】
(1)由已知在Rt△ABC中,中EF∥BC,我們可得到EF⊥AB,即EF⊥EB,EF⊥EP,由線面垂直的判定定理定理,易得EF⊥平面PEB,再由線面垂直的定義,即可得到EF丄PB;
(2)在平面PEB中,過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BE于D,結(jié)合(I)的結(jié)論可得BH⊥平面BCFE,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BE,BH方向分別為X,Y,Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,則我們可以分別求出平面PFC與平面BFC的法向量,代入二面角的向量夾角公式中,求出其余弦值,判斷后,即可得到答案.
(1)證明:在Rt△ABC中,∵EF∥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB,EF⊥EP,又由EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
又∵PB平面PEB
∴EF⊥PB
(2)在平面PEB中,過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BE于D,
由(1)知,EF⊥PD
∴PD⊥平面BCFE
在平面PEB中過(guò)點(diǎn)B作直線BH∥PD
則BH⊥平面BCFE
如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BE,BH方向分別為X,Y,Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,
設(shè)PE=x(0<x<4),又∵AB=BC=4
∴BE=4﹣x,EF=x
在Rt△PED中,∠PED=60°
∴PD=,DE=
∴BD=4﹣x﹣=4﹣
∴C(4,0,0),F(xiàn)(x,4﹣x,0),P(0,4﹣,)
從而=(x﹣4,4﹣x,0),=(﹣4,4﹣,)
設(shè)=(a,b,c)是平面PCF的一個(gè)法向量,則:
,
即
令b=1,則=(1,1,)是平面PCF的一個(gè)法向量,
又∵平面BCF的一個(gè)法向量為=(0,0,1)
設(shè)二面角P﹣FC﹣B的平面角為θ,則
Cosθ==
∴當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí),二面角P﹣FC﹣B的平面角的余弦值為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為 , , .
(Ⅰ)設(shè)X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃2011年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告,廣告費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元.甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司每分鐘所做的廣告,能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3 萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元.問(wèn):該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間,才能使公司收益最大,最大收益是多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣ )e﹣x(x≥ ).
(Ⅰ)求f(x)的導(dǎo)函數(shù);
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[ ,+∞)上的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當(dāng)n∈N*時(shí),
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)(0, )作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).(14分)
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,過(guò)AD的平面分別交PB,PC于M,N兩點(diǎn).
(1)求證:MN∥BC;
(2)若M,N分別為PB,PC的中點(diǎn),
①求證:PB⊥DN;
②求二面角P-DN-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某幾何體的三視圖和直觀圖如圖所示,其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(1)證明:平面BCN⊥平面C1NB1;
(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后,某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論:
①;
②∠BAC=60°;
③三棱錐D﹣ABC是正三棱錐;
④平面ADC和平面ABC的垂直.
其中正確的是( 。
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
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