【題目】已知某幾何體的三視圖和直觀圖如圖所示,其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(1)證明:平面BCN⊥平面C1NB1;
(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)建立空間直角坐標系,根據(jù)坐標運算,求得直線與平面的垂直,進而判斷平面與平面的垂直。
(2)根據(jù)空間直角坐標系,求出兩個平面的法向量,進而利用兩個平面的法向量求出兩個平面的二面角大小。
(1)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,∴BA,BC,BB1兩兩垂直.
以分別作為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),=-16+16+0=0,=0,
∴NB⊥NB1,NB⊥B1C1.
又NB1與B1C1相交于B1,∴NB⊥平面C1NB1.
又NB平面BCN.
∴平面BCN⊥平面C1NB1.
(2)解設n=(x,y,z)是平面NCB1的一個法向量,=(4,4,-4),=(4,-4,0),
則
取x=1,得n=(1,1,2).
由(1)知=(4,4,0)是平面C1B1N的一個法向量,
cos<n,>=.
故二面角C-NB1-C1的余弦值為.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點E在線段AB上.過點E作EF∥BC交AC于點F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求證:EF⊥PB.
(2)試問:當點E在線段AB上移動時,二面角PFCB的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,說明理由.
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【題目】下列關于概率和統(tǒng)計的幾種說法:
①10名工人某天生產(chǎn)同一種零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則a,b,c的大小關系為c>a>b;
②樣本4,2,1,0,-2的標準差是2;
③在面積為S的△ABC內(nèi)任選一點P,則隨機事件“△PBC的面積小于”的概率為;
④從寫有0,1,2,…,9的十張卡片中,有放回地每次抽一張,連抽兩次,則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的概率是.
其中正確說法的序號有________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1 , 過點F2作直線PF2的垂線l2 .
(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)若直線l1 , l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.
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【題目】已知a,b為異面直線,且所成的角為70°,過空間一點作直線l,直線l與a,b均異面,且所成的角均為50°,則滿足條件的直線共有( ) 條
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】(本小題滿分14分)
如圖1,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC上一點,它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.
(1) 證明:AD⊥平面PBC;
(2) 在∠ACB的平分線上確定一點Q,使得PQ∥平面ABD,并求此時PQ的長.
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【題目】已知點,,動點滿足.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設點為軌跡上異于原點的兩點,且.
①若為常數(shù),求證:直線過定點;
②求軌跡上任意一點到①中的點距離的最小值.
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【題目】給出下列五個命題:
①當時,有;
②若是銳角三角形,則;
③已知是等差數(shù)列的前項和,若,則;
④函數(shù)與的圖像關于直線對稱;
⑤當時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為.
其中正確命題的序號為___________.
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