Question

7．已知點(diǎn)A（0，2），拋物線C：y²=mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若|FM|：|MN|=1：2，則△OFN的面積為（　�。�

• A． $8\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出M在準(zhǔn)線上的射影K，根據(jù)|KM|：|MN|確定|KN|：|KM|的值，進(jìn)而列方程求得m，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：拋物線C：y²=mx的焦點(diǎn)F（$\frac{m}{4}$，0）
設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，
由拋物線的定義知|MF|=|MK|，
由|FM|：|MN|=1：2，可得|KM|：|MN|=1：2，
則|KN|：|KM|=$\sqrt{3}$：1，k_FN=-$\sqrt{3}$
k_FN=$\frac{0-2}{\frac{m}{4}-0}$=-$\frac{8}{m}$，
即有$\frac{8}{m}$=$\sqrt{3}$，求得m=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
則三角形OFN的面積為$\frac{1}{2}$•y_N•|OF|=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．拋物線中涉及焦半徑的問題常利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來解決．