Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，$α∈（0，\frac{π}{2}）$）與圓C：x²+y²-2x-4x+1=0相交于點(diǎn)A，B，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）利用極徑的意義，即可求$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R），
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，
（2）θ=α，代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，
得ρ²-2ρcosα-4ρsinα+1=0，
顯然${ρ_1}＞0，{ρ_2}＞0，\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=$\frac{{{ρ_1}+{ρ_2}}}{{{ρ_1}{ρ_2}}}=2cosα+4sinα$=$2\sqrt{5}cos（α-φ）≤2\sqrt{5}$，
所以$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值為$2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查極徑的意義，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．