Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：

對于任意，都有成立.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)數(shù)列，問：數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，.(2)①，.②見解析.

【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，類比寫出，兩式相減整理得，當(dāng)時(shí)，求得，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.；

（2）①將代入已知條件，用與（1）相似的方法，變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②由的通項(xiàng)公式分析，得…，假設(shè)存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，且，則，即，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，化簡得，將或代入已知條件，即可得到結(jié)論.

詳解：解：（1）由， ①

得， ②

由①-②得，即，

對①取得，，所以，所以為常數(shù)，

所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，即，.

（2）①由，可得對于任意有

， ③

則， ④

則， ⑤

由③-⑤得，

對③取得，也適合上式，

因此，.

②由（1）（2）可知，

則，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，即在且上單調(diào)遞減，

故…，

假設(shè)存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，其中，，，

由于…，可不妨設(shè)，則（*），

即，

因?yàn)?/span>，，且，則且，

由數(shù)列的單調(diào)性可知，，即，

因?yàn)?/span>，所以，

即，化簡得，

又且，所以或，

當(dāng)時(shí)，，即，由時(shí)，，此時(shí)，，不構(gòu)成等差數(shù)列，不合題意，

當(dāng)時(shí)，由題意或，即，又，代入（*）式得，

因?yàn)閿?shù)列在且上單調(diào)遞減，且，，所以，

綜上所述，數(shù)列中存在三項(xiàng)，，或，，構(gòu)成等差數(shù)列.