Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²+ax+b其函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù) a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=f（x），則求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，則得b=0，由有f（1+x）=f（1-x）可得函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，然后可求實(shí)數(shù) a，b的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)是奇函數(shù)，可求函數(shù)g（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴b=0（2分）
又因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1（4分）
所以-

a

2

=1，解得a=-2        （6分）
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=x²-2x，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
g（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x

∵g(x)為奇函數(shù)∴g(-x)=-g(x) ∴g(x)=-x2-2x

（10分）
g(x)=

x2-2x -x2-2x

，

(x≥0) (x＜0)

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，以及利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．