【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)證明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)連結(jié)BC1,交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)AO,
∵側(cè)面BB1C1C為菱形,
∴BC1⊥B1C,且O為BC1和B1C的中點(diǎn),
又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,
∵AO平面ABO,∴B1C⊥AO,
又B10=CO,∴AC=AB1,
(Ⅱ)∵AC⊥AB1,且O為B1C的中點(diǎn),∴AO=CO,
又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,
∴OA,OB,OB1兩兩垂直,
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,| |為單位長(zhǎng)度,
的方向?yàn)閥軸的正方向, 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
∵∠CBB1=60°,∴△CBB1為正三角形,又AB=BC,
∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0)
∴ =(0, , ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0),
設(shè)向量 =(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,
則 ,可取 =(1, , ),
同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量 =(1,﹣ , ),
∴cos< , >= = ,
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為
【解析】(Ⅰ)連結(jié)BC1,交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)AO,可證B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,進(jìn)而可得AC=AB1;(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,| |為單位長(zhǎng)度, 的方向?yàn)閥軸的正方向, 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:“今有垣厚十尺,兩鼠對(duì)穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢?”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=( )
A.4
B.5
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中a的值;
(Ⅱ)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率;
(Ⅲ)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中,隨機(jī)抽取2人,求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab.
(Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若c=2,且△ABC為銳角三角形,求a+b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0),離心率為e.
(Ⅰ)若 ,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),M,N分別為線段AF2 , BF2的中點(diǎn).若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,且 ,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) ①對(duì)于命題p:x∈R,使得x2+x+1<0,則¬p:x∈R,均有x2+x+1>0;
②命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題;
③回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為 =1.23x+0.08;
④m=3是直線(m+3)x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件.
A.1
B.3
C.2
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +b(a,b∈R)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x﹣1.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),比較x1+x2與2e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2|x+a|+|x﹣ |(a≠0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)<4;
(2)求函數(shù)g(x)=f(x)+f(﹣x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1﹣ ,a∈R.
(1)若函數(shù)g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求a的范圍;
(2)當(dāng)a≤﹣1時(shí),證明:f(x)lnx>0對(duì)于任意x∈(0,1)∪(1,+∞)成立.
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