【題目】已知函數(shù)f(x)= +b(a,b∈R)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x﹣1.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),比較x1+x2與2e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大。

【答案】
(1)解:f′(x)= ,

∵函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x﹣1,

∴f(x)= ,定義域?yàn)椋?,+∞),

∴f′(x)=

∴x∈(0,e),f′(x)>0,x∈(e,+∞),f′(x)<0,

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,e),單調(diào)減區(qū)間是(e,+∞)


(2)解:當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),x1+x2>2e,

下面證明結(jié)論,

當(dāng)x>e時(shí),f(x)= >0,由(1)可知f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,e),單調(diào)減區(qū)間是(e,+∞),

又f(1)=0,

∴若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),則x1,x2都大于1,且必有一個(gè)小于e,一個(gè)大于e,

設(shè)1<x1<e<x2

當(dāng)x2≥2e時(shí),顯然x1+x2>2e,

當(dāng)e<x2<2e時(shí),

∴f(x1)﹣f(2e﹣x2)=f(x2)﹣f(2e﹣x2)= ,

設(shè)g(x)= ,e<x<2e,

∴g′(x)= {4e(e﹣x)(1﹣lnx)+x2[(2﹣ln(﹣(x﹣e)2+e2]},

∵e<x<2e,

∴0<﹣(x﹣e)2+e2<e2,

∴2﹣ln(﹣(x﹣e)2+e2>0

∵4e(e﹣x)(1﹣lnx)>0,

∴g′(x)>0,

∴g(x)在(e,2e)上單調(diào)遞增,

∴g(x)>g(e)=0,

∴f(x1)>f(2e﹣x2),

∵1<x1<e<x2,

∴0<2e﹣x2<e,

∵f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

∴x1>2e﹣x2,

∴x1+x2>2e,

綜上所述,當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),x1+x2>2e


【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求出a,b的值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出,(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),x1+x2>2e,設(shè)1<x1<e<x2,當(dāng)x2≥2e時(shí),顯然x1+x2>2e,當(dāng)e<x2<2e時(shí),構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.100πcm3
B.
C.400πcm3
D.

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A.k2+1
B.(k+1)2
C.
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A.a<b<c
B.c<a<b
C.c<a<b
D.b<a<c

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x

3

4

5

6

y

25

30

40

45

由上表可得線性回歸方程 = x+ ,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為8萬(wàn)元時(shí)的銷售額是(
附: = ; = x.
A.59.5
B.52.5
C.56
D.63.5

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(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)迷與年齡不超過(guò)40歲有關(guān)?

網(wǎng)購(gòu)迷

非網(wǎng)購(gòu)迷

合計(jì)

年齡不超過(guò)40歲

年齡超過(guò)40歲

合計(jì)


(2)若從網(wǎng)購(gòu)迷中任意選取2名,求其中年齡丑啊過(guò)40歲的市民人數(shù)ξ的分布列與期望. 附: ;

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.01

k0

2.072

2.706

3.841

6.635

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選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)

1

2

3

人數(shù)

5

25

20

(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生,記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y,求事件“y≥2”的概率.

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