Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）和g（x）滿足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），．令，則使數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n超過的最小自然數(shù)n的值為________．

Answer 1

5
分析：分別令x等于1和x等于-1代入①得到兩個(gè)關(guān)系式，把兩個(gè)關(guān)系式代入②得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根據(jù)f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知 =a^x 是減函數(shù)，對求得的a進(jìn)行取舍，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得其前n項(xiàng)和S_n，解不等式S_n≤，即可求得結(jié)果．
解答：令x=1，得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=•g（-1）．
代入 可得 a+=，化簡得2a²-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴′＜0，
從而可得 =a^x 是減函數(shù)，故a=．
∴=，S_n==1-．
再由 1-＞ 解得 n＞4，故 n的最小值為5，
故答案為 5．
點(diǎn)評：題考查學(xué)生會利用有理數(shù)指數(shù)冪公式化簡求值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列求和等知識，綜合性強(qiáng)，根據(jù)已知求出=a^x 的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和應(yīng)用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．