Question

【題目】如圖，動點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為．

（1）求軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）

【解析】

試題（1）首先由題意可知，顯然，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，可將轉(zhuǎn)化為正切值即斜率之間的關(guān)系，從而可以得到，所滿足的關(guān)系式，即可得到軌跡方程：，即，化簡可得，，而點(diǎn)也在曲線，軌跡的方程為；（2）首先將直線方程與軌跡的方程聯(lián)立，消去并化簡后可得：，故若設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則問題等價于在有兩個大于的根，，且的條件下，求的取值范圍，因此首先根據(jù)方程有兩個大于的正根，可求得的取值范圍是，再由求根公式，可將表示為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系：，在下，可得，即的取值范圍是．

試題解析：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，顯然有，且，

當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)時，，由，

有，即，化簡可得，，而點(diǎn)也在曲線，

綜上可知，軌跡的方程為；

（2）由，消去并整理，得，

由題意，方程有兩根且均在內(nèi)．設(shè)f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴，解得，且，

又∵，∴，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，由及方程有

，，

∴，

由，得，

故的取值范圍是．