Question

設(shè)（1-x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃+a₄x⁴+a₅x⁵．求：
（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（的值；
（2）a₁+a₃+a₅的值；
（3）|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值．

Answer 1

分析：（1）令二項(xiàng)式中的x分別取0，1，然后將得到的兩個(gè)式子相減即得到a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值；
（2）令二項(xiàng)式中的x分別取1，-1，然后將得到的兩個(gè)式子相減即得到a₁+a₃+a₅的值；
（3）先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，判斷出系數(shù)為負(fù)的項(xiàng)，將絕對值符號(hào)去掉，即可求出）|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值．

解答：解：（1）因?yàn)椋?-x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃+a₄x⁴+a₅x⁵．
令x=0得a₀=1，
令x=1得0=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅．①
所以a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=0-1=-1
（2）令x=-1得
2⁵=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅．②
①-②得
a₁+a₃+a₅=-16
（3）（1-x）⁵展開式的通項(xiàng)為T_r+1=（-1）^rC_n^rx^r
所以奇次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=2⁵-1=31

點(diǎn)評：解決二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題，一般先通過觀察，給二項(xiàng)式中的未知數(shù)賦合適的值，屬于中檔題．