Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)x∈（n，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8時，存在最大實(shí)數(shù)t，使得x∈（1，t]時-5≤g（x）≤5恒成立，請寫出t與a的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)確定出m的值即可；
（2）求出f（x）的定義域，分類討論x的范圍，根據(jù)f（x）的值域求出a與n值即可；
（3）由f（x）解析式及題意，將g（x）解析式變形，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出使得x∈（1，t]時-5≤g（x）≤5恒成立的最大實(shí)數(shù)t，并求出t與a的關(guān)系式即可．

解答 解：（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x），即log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=-log_a$\frac{1-mx}{x-1}$，
整理得：$\frac{1+mx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-mx}$，即1-m²x²=1-x²，
解得：m=-1；
（2）由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
∴①當(dāng)n＜a-2≤-1時，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在為增函數(shù)，
其值域?yàn)橛桑?，+∞）知$\left\{\begin{array}{l}{log_a}\frac{1+n}{n-1}=1\\ a-2=-1\end{array}\right.$（無解）；
②當(dāng)1≤n＜a-2時，有a＞3．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，
由其值域?yàn)椋?，+∞）知$\left\{\begin{array}{l}n=1\\{log_a}\frac{a-1}{a-3}=1\end{array}\right.$得a=2+$\sqrt{3}$，n=1；
（3）由（1）及題設(shè)知：g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8x+3=-a（x-$\frac{4}{a}$）²+3+$\frac{16}{a}$，
則函數(shù)y=g（x）的對稱軸x=$\frac{4}{a}$，
∵a≥8，
∴x=$\frac{4}{a}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴函數(shù)y=g（x）在x∈（1，t]上單調(diào)減．
∴g（t）≤g（x）≤g（1），
∵t是最大實(shí)數(shù)使得x∈（1，t]恒有-5≤g（x）≤5成立，g（1）=11-a≤3＜5，g（1）-g（t）=11-a+at²-8t-3=（t-1）（at+a-8）＞0，
∴g（t）=-at²+8t+3=-5，即at²=8t+8．

點(diǎn)評 此題考查了函數(shù)的最值及幾何意義，熟練掌握函數(shù)的增減性及二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．