Question

已知f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²+cx，g（x）=mx²+

15

4

x-9．當(dāng)a=3，b=c=0時，若存在過點（1，0）的直線與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，求得切線的斜率，運用兩點的斜率公式和點在曲線上的條件，解方程即可得到m．

解答： 解：當(dāng)a=3，b=c=0時，f（x）=x³，f′（x）=3x²，
g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2mx+

15

4

，
設(shè)過點（1，0）的切線與y=f（x）的切點為（e，f），與y=g（x）的切點為（s，t），
則3e²=2ms+

15

4

，
由e³=f，3e²=

f

e-1

=

e3

e-1

，解得e=0或

3

2

，
則切線的方程為y=0或y=

27

4

（x-1）．
若e=0，則ms=-

15

8

，且t=ms²+

15

4

s-9，

t

s-1

=0，
解得t=0，s=

24

5

，m=-

25

64

；
若e=

3

2

，則ms=

3

2

，且t=ms²+

15

4

s-9，

t

s-1

=

27

4

，
解得s=-

3

2

，m=-1．
綜上可得，m=-

25

64

或m=-1．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，正確設(shè)出切點和求出導(dǎo)數(shù)，運用兩點的斜率公式是解題的關(guān)鍵．