Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在底面ABC上的射影O是AC的中點，BC⊥AC，四邊形BCC₁B₁是菱形，直線AB與平面ACC₁A₁所成的角為45°．
（1）求證：A₁B⊥AC₁；
（2）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點D，由已知得A₁O⊥平面ABC，OD⊥AC，以O為原點，OD為x軸，OC為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標系，由

A1B

•

AC1

=0，利用向量法能證明A₁B⊥AC₁．
（2）求出平面ABB₁的法向量和平面BB₁C的法向量，利用向量法能求出二面角A-BB₁-C的余弦值．

解答： （1）證明：取AB中點D，
∵BC⊥AC，點A₁在底面ABC上的射影O是AC的中點，
∴A₁O⊥平面ABC，OD⊥AC，
以O為原點，OD為x軸，OC為y軸，OA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵四邊形BCC₁B₁是菱形，直線AB與平面ACC₁A₁所成的角為45°，
∴設AC=BC=AA₁=2，則AB=2

2

，
則A₁（0，0，

3

），B（2，1，0），A（0，-1，0），C₁（0，2，

3

），

A1B

=（2，1，-

3

），

A C   1

=（0，3，

3

），
∴

A1B

•

AC1

=0+3-3=0，
∴A₁B⊥AC₁．
（2）解：A（0，-1，0），B（2，1，0），B₁（2，1，

3

），C（0，2，0），

BB1

=（0，0，

3

），

BA

=（-2，-2，0），

BC

=（-2，1，0），
設平面ABB₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA =-2x-2y=0 n • BB1 = 3 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），
設平面BB₁C的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BC =-2a+b=0 m • BB1 = 3 c=0

，取a=1，得

m

=（1，2，0），
設二面角A-BB₁-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2 × 5

=

10

10

．
∴二面角A-BB₁-C的余弦值為

10

10

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，空間向量、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．