Question

設(shè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{a_n}與公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{b_n}有如下關(guān)系：a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅．
（Ⅰ）比較a₁₅與b₇的大小關(guān)系，并給出證明．
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n，使得a_n=b_m？若存在，求出m，n之間所滿足的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，求出2d=b₁（q²-1），6d=b₁（q⁴-1），即可比較a₁₅與b₇的大小關(guān)系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知q²=2，2d=b₁，利用a_n=b_m，即可求出m，n之間所滿足的關(guān)系式．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}為等差數(shù)列，公差為d，
∴a₃=a₁+2d，a₇=a₁+6d，a₁₅=a₁+14d
∵{b_n}為等比數(shù)列，公比為q，
∴b₃=b₁q²，b₅=b₁q⁴，b₇=b₁q⁶，
∵a₁=b₁，a₃=b₃，
∴a₁+2d=b₁q²，
∴b₁+2d=b₁q²，
∴2d=b₁（q²-1）--（1）
∵a₇=b₅，
∴a₁+6d=b₁q⁴，
∴ba₁+6d=b₁q⁴，
∴6d=b₁（q⁴-1）--（2）
（2）÷（1）得：3=（q⁴-1）÷（q²-1），
∴q²+1=3，
∴q²=2，
∴2d=b₁（q²-1）=（2-1）b₁=b₁，
∴a₁₅=a₁+14d=b₁+7•（2d）=b₁+7b₁=8b₁，
b₇=b₁q⁶=b₁（q²）=8b₁，
∴a₁₅=b₇；
（Ⅱ）存在n+1=2

m+1

2

，使得a_n=b_m．證明如下：
由（Ⅰ）知q²=2，2d=b₁，
∵a_n=b_m，∴a₁+（n-1）d=b₁•q^m-1，
∴2b₁+（n-1）b₁=2b₁•2

m-1

2

，
∴n+1=2

m+1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查小時(shí)分析解決問題的能力，屬于中檔題．