Question

已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓于點D，且

BF

=

5

3

FD

．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設直線方程為y=2（x+a），利用

AB

=

6

13

BC

，確定B的坐標，利用B點在橢圓上，即可求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設b²=3t．a²=4t，可得橢圓的方程為3x²+4y²-12t=0，與y=kx+m聯(lián)立，利用動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，可得m²=3t+4k²t，求出P的坐標，利用x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（-a，0），設直線方程為y=2（x+a），B（x₁，y₁）
令x=0，則y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）
∴

AB

=(x1+a，y1)，

BC

=(-x1，2a-y1)----------------------（3分）
∵

AB

=

6

13

BC

，
∴x₁+a=

6

13

(-x1)，y1=

6

13

(2a-y1)，整理得x1=-

13

19

a，y1=

12

19

a--------------------（4分）
∵B點在橢圓上，∴(

13

19

)2+(

12

19

)2•

a2

b2

=1，∴

b2

a2

=

3

4

，----------------------（5分）
∴

a2-c2

a2

=

3

4

，即1-e2=

3

4

，∴e=

1

2

----------------------（6分）
（Ⅱ）∵

b2

a2

=

3

4

，可設b²=3t．a²=4t，
∴橢圓的方程為3x²+4y²-12t=0----------------------（7分）
由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0----------------------（8分）
∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0
整理得m²=3t+4k²t----------------------（9分）
設P（x₁，y₁）則有x1=-

8km

2(3+4k2)

=-

4km

3+4k2

，y1=kx1+m=

3m

3+4k2

∴P(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)----------------------（10分）
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+

4km

3+4k2

，-

3m

3+4k2

)•(-3，-(4k+m))=0恒成立
整理得3+4k²=m²，----------------------（12分）
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1----------------------（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．