Question

5．（1）已知log₁₂27=a，試用a表示log₆16；
（2）已知log₂3=a，3^b=7．試用a，b表示log₁₂56．

Answer 1

分析 （1）由換底公式得到a=$\frac{lg27}{lg12}$=$\frac{3}{2×\frac{lg2}{lg3}+1}$，從而$\frac{lg2}{lg3}=\frac{3-a}{2a}$，由此能用a表示log₆16．
（2）由已知得$\frac{lg3}{lg2}=a$，$\frac{lg7}{lg3}$=b，由此利用換底公式能用a，b表示log₁₂56．

解答 解：（1）∵log₁₂27=a，
∴a=$\frac{lg27}{lg12}$=$\frac{3lg3}{2lg2+lg3}$=$\frac{3}{2×\frac{lg2}{lg3}+1}$，
∴$\frac{lg2}{lg3}=\frac{3-a}{2a}$，
∴l(xiāng)og₆16=$\frac{lg16}{lg6}$=$\frac{4lg2}{lg2+lg3}$=$\frac{4}{1+\frac{lg3}{lg2}}$=$\frac{4}{1+\frac{2a}{3-a}}$=$\frac{12-4a}{a+3}$．
（2）∵log₂3=a，3^b=7，
∴l(xiāng)og₃7=b，$\frac{lg3}{lg2}=a$，$\frac{lg7}{lg3}$=b，
∴l(xiāng)og₁₂56=$\frac{lg56}{lg12}$=$\frac{lg7+3lg2}{lg3+2lg2}$=$\frac{\frac{lg7}{lg3}+3×\frac{lg2}{lg3}}{1+2×\frac{lg2}{lg3}}$=$\frac{b+\frac{3}{a}}{1+\frac{2}{a}}$=$\frac{ab+3}{a+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則和換底公式的合理運(yùn)用．