Question

對(duì)每一實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），函數(shù)f（t）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+f（xy）+1．若f（-2）=-2，試求滿足f（a）=a的所有整數(shù)a=

 

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Answer 1

分析：通過(guò)賦值法求出f（0），f（-1），f（1）的值，判斷對(duì)一切大于1的正整數(shù)a，恒有f（a）＞a，當(dāng)整數(shù)a≤-4時(shí)，f（a）＞0，然后驗(yàn)證求出a的值．

解答：解：令x=y=0得f（0）=-1；
令x=y=-1，由f（-2）=-2得，f（-1）=-2，
又令x=1，y=-1可得f（1）=1，再令x=1，得f（y+1）=f（y）+y+2①，所以f（y+1）-f（y）=y+2，
即y為正整數(shù)時(shí)，f（y+1）-f（y）＞0，
由f（1）=1可知對(duì)一切正整數(shù)y，f（y）＞0，
因此y∈N^*時(shí)，f（y+1）=f（y）+y+2＞y+1，
即對(duì)一切大于1的正整數(shù)a，恒有f（a）＞a，由①得f（-3）=-1，f（-4）=1．
下面證明：當(dāng)整數(shù)a≤-4時(shí)，f（a）＞0，
因a≤-4，故-（a+2）＞0，由①得：f（a）-f（a+1）=-（a+2）＞0，
即f（-5）-f（-4）＞0，f（-6）-f（-5）＞0，…，f（a+1）-f（a+2）＞0，f（a）-f（a+1）＞0
相加得：f（a）-f（-4）＞0，因?yàn)椋篴≤4，故f（a）＞a．
綜上所述：滿足f（a）=a的整數(shù)只有a=1或a=2．
故答案為：1或-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及運(yùn)算，賦值法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．