Question

已知平面α∥平面β，點(diǎn)AC∈α，BD∈β，M，N分別為AB和CD的中點(diǎn)，求證：MN∥β．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：因?yàn)锳B與CD是異面直線，故MN與AC、BD不平行．在平面α、β中找不到與MN平行的直線，試圖通過證線線平行達(dá)到線面平行這一思路受阻；于是轉(zhuǎn)而考慮通過證面面平行達(dá)到線面平行，即需找一個(gè)過MN且與α\β平行的平面．根據(jù)M、N是異面直線上的中點(diǎn)這一特征，連接BC，則此時(shí)AB、BC共面，即BC為溝通AB、CD的橋梁，再取BC的中點(diǎn)E，連接ME、NE，用中位線知識(shí)可證得．

解答： 證明：連接BC、AD，取BC的中點(diǎn)E，連接ME、NE，則ME是△BAC的中位線，
故ME∥AC，ME?α，∴ME∥α．
同理可證，NE∥BD．
又α∥β，
設(shè)CB與DC確定的平面BCD與平面α交于直線CF，則CF∥BD，
∴NE∥CF．而NE?平面α，CF?α，∴NE∥α．
又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，
而MN?平面MNE，∴MN∥平面α，
∴MN∥β．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的判定，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．