定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
x
5
）=
1
2
f（x），且當0≤x1＜x2≤1時f（x1）≤f（x2），則f（
1
2010
）等于（　　）
分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（
x
5
）=
1
2
f（x）⇒f（
1
5
）=
1
2
；反復利用f（
x
5
）=
1
2
f（x）⇒f（
1
3125
）=
1
2
f（
1
625
）=
1
32
 ①；再令x=
1
2
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
1
2
）=
1
2
，同理反復利用f（
x
5
）=
1
2
f（x）⇒f（
1
1250
）=
1
2
f（
1
250
）=
1
32
 ②；又0≤x1＜x2≤1時f（x1）≤f（x2），而
1
3125
＜
1
2010
＜
1
1250
從而可求得f（
1
2010
）的值．
解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（
x
5
）=
1
2
f（x），
∴當x=1時，f（
1
5
）=
1
2
f（1）=
1
2
；
令x=
1
5
，由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得：
f（
1
25
）=
1
2
f（
1
5
）=
1
4
；
同理可求：f（
1
125
）=
1
2
f（
1
25
）=
1
8
；
f（
1
625
）=）=
1
2
f（
1
125
）=
1
16
；
f（
1
3125
）=
1
2
f（
1
625
）=
1
32
 ①
再令x=
1
2
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
1
2
）=
1
2
，
∴f（
1
2
）+f（1-
1
2
）=1，解得f（
1
2
）=
1
2
，
令x=
1
2
，同理反復利用f（
x
5
）=
1
2
f（x），
可得f（
1
10
）=）=
1
2
f（
1
2
）=
1
4
；
f（
1
50
）=
1
2
f（
1
10
）=
1
8
；
…
f（
1
1250
）=
1
2
f（
1
250
）=
1
32
 ②
由①②可得：，有f（
1
1250
）=f（
1
3125
）=
1
32
，
∵0≤x1＜x2≤1時f（x1）≤f（x2），而0＜
1
3125
＜
1
2010
＜
1
1250
＜1
所以有f（
1
2010
）≥f（
1
3125
）=
1
32
，
       f（
1
2010
）≤f（
1
1250
）=
1
32
；
故f（
1
2010
）=
1
32
．
故選C．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，難點在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，兩次賦值后都反復應用f（
x
5
）=
1
2
f（x），分別得到關系式①②，從而使問題解決，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③當x∈[0，
1
3
]時，f(x)≥
3
2
x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．
①對任意的x∈[0，1]，總f（x）≥0；
②當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2成立．
已知函數(shù)g（x）=x2與h（x）=a&•2x-1是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程g（2x-1）+h（x）=m（m∈R）解的個數(shù)情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•南京模擬）函數(shù)f （x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，滿足f （x）=2f （
x
2
），且f （1）=1，在每一個區(qū)間（
1
2k
，
1
2k-1
]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的圖象都是斜率為同一常數(shù)m的直線的一部分，記直線x=
5
3×2n
，x=
1
2n-1
，x軸及函數(shù)y=f （x）的圖象圍成的梯形面積為an（n=1，2，3，…），則數(shù)列{an}的通項公式為
12-m
9×22n+1
12-m
9×22n+1
．（用最簡形式表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函數(shù)g（x）=x2與h（x）=a•2x-1是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有兩解？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）同時滿足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．則稱函數(shù)f（x）為“夢函數(shù)”．
（1）試驗證f（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“夢函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）為“夢函數(shù)”，求f（x）的最值．

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