Question

如圖1，在直角梯形中，，，，

. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．

(I)求證：平面平面；

(II)求直線與平面所成角的正弦值；

(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

(I) 詳見解析； (II) ； (III) 存在點(diǎn)M滿足條件．

【解析】

試題分析：(I)借助三角形中位線得到線線平行，進(jìn)而得到面面平行；(II)建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量知識(shí)求線面角；(III) 記點(diǎn)為，證明即可．

試題解析：

（I）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上

所以平面，所以                         1分

因?yàn)樵谥苯翘菪?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112333577632753_DA.files/image009.png">中，，，

，

所以，，所以是等邊三角形，

所以是中點(diǎn)，                                         2分

所以                                              3分

同理可證

又

所以平面                                  5分

（II）在平面內(nèi)過作的垂線

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，                      6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112333577632753_DA.files/image026.png">，

設(shè)平面的法向量為

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112333577632753_DA.files/image030.png">，

所以有，即，

令則  所以                               8分

                                 10分

所以直線與平面所成角的正弦值為                        11分

(III)存在，事實(shí)上記點(diǎn)為即可                                        12分

因?yàn)樵谥苯侨�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112333577632753_DA.files/image042.png">中，，                  13分    

在直角三角形中，點(diǎn)

所以點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等                                     14分

考點(diǎn)：1、面面平行的判定定理；2、直線與平面所成的角；3、立體幾何中的探索性問題．