已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
5
5
，點（1，
2
5
5
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 在x軸上是否存在一定點E，使得對橢圓C的任意一條過E的弦AB，
1
|EA|2
+
1
|EB|2
為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導出
b2
a2
=1-e2=
1
5
1
a2
+
4
5b2
=1
，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設E（x0，0），分別過E取兩垂直于坐標軸的弦CD，C′D′，則
1
|EC|2
+
1
|ED|2
=
1
|EC′|2
+
1
|ED′|2
，由此能求出定點為E（±
30
3
，0），定值為
1
|EA|2
+
1
|EB|2
=6．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
5
5
，
點（1，
2
5
5
）在橢圓C上，
∴
b2
a2
=1-e2=
1
5
1
a2
+
4
5b2
=1
，解得a2=5，b2=1，
∴橢圓C的方程為
x2
5
+y2=1．
（Ⅱ）設E（x0，0），分別過E取兩垂直于坐標軸的弦CD，C′D′，
則
1
|EC|2
+
1
|ED|2
=
1
|EC′|2
+
1
|ED′|2
，
∴
2
1-
x02
5
=
1
|
5
-x0|2
+
1
|1-
5
-x0|2
，
解得x0=±
30
3
，∴E若存在，必為（±
30
3
，0），定值為6．
下面證明（±
30
3
，0）滿足題意．
設過點E（
30
3
，0）的直線方程為x=ty+
30
3
，
代入C中，得：
(t2+5)y2+
2
30
3
ty-
5
3
=0，設A（x1，y1），B（x2 ，y2），
則y1+y2=-
20
30
t
3(t2+5)
，y1y2=-
5
3(t2+5)
，
∴
1
|EA|2
+
1
|EB|2
=
1
(1+t)2y12
+
1
(1+t2)y22

=
1
1+t2
(
1
y12
+
1
y22
)
=
1
1+t2
•
y12+y22
y12y22
=
1
1+t2
•
(y1+y2)2-2y1y2
(y1y2)2

=
1
1+t2
•
[
2
30
t
3(t2+5)
]2+2•
5
3(t2+5)
[
5
3(t2+5)
]2
=6．
同理，得E(-
30
3
，0)也滿足題意，
綜上得定點為E（±
30
3
，0），定值為
1
|EA|2
+
1
|EB|2
=6．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查定點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
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已知sin（α+
π
2
）=
5
5
，α∈（0，π），求
sin(α-
π
2
)-cos(
3π
2
+α)
sin(π-α)+cos(3π+α)
的值．

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已知向量
m
=（sinx，-1），向量
n
=（
3
cosx，
1
2
），函數(shù)f（x）=（
m
+
n
）•
m
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T及單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-t在x∈[
π
4
，
π
2
]上有零點，求實數(shù)t的取值范圍．

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3
-2
3
t
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1
a
+
2
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x2
a2
+
y2
b2
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π
2
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π
2
）=-
2
3
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A
2
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1
3
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π
12
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