Question

對于某一自變量為x的函數(shù)，若當(dāng)x=x₀時，其函數(shù)值也為x₀，則稱點（x₀，x₀）為此函數(shù)的不動點，現(xiàn)有二次函數(shù)y=x²+bx+c．
（1）若b=2，c=0，求函數(shù)y=x²+bx+c的不動點坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)y=x²+bx+c圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），（x₁＞x₂），該圖象與y軸交于C點，且△ABC是以AC為直角邊的直角三角形，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，令y=x²+2x=x；解x即可；
（2）令y=x²+bx+c=x；從而確定b-1=0；c＜0；從而求出點A（

-c

，

-c

），B（-

-c

，-

-c

）；點C（0，c）；再由△ABC是以AC為直角邊的直角三角形利用勾股定理求解即可．

解答： 解：（1）由題意，令y=x²+2x=x；
解得x=0或x=-1；
故函數(shù)y=x²+2x的不動點坐標(biāo)為（0，0），（-1，-1）；
（2）由題意，令y=x²+bx+c=x；
則x²+（b-1）x+c=0；
則由函數(shù)y=x²+bx+c圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）知，
b-1=0；c＜0；
y₁=x₁=

-c

，y₂=x₂=-

-c

，
故點A（

-c

，

-c

），B（-

-c

，-

-c

）；點C（0，c）；
故由△ABC是以AC為直角邊的直角三角形知，
BC²+AC²=AB²，
則（-

-c

）²+（c+

-c

）²+（

-c

）²+（c-

-c

）²=（2

-c

）²+（2

-c

）²；
即-c+2c²-2c-c=-8c；
故c=-2．
故點C（0，-2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的化簡與應(yīng)用，同時考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)題．