Question

已知f（x）=cos²（x+

π

12

）+sinxcosx，求：
（1）f（x）的最值；
（2）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

1

2

，由-1≤sin（2x+

π

3

）≤1可解得f（x）的最值；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²（x+

π

12

）+sinxcosx=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

3

4

cos2x-

1

4

sin2x+

1

2

sin2x=

1

2

+

3

4

cos2x+

1

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

1

2

∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴0≤

1

2

sin（2x+

π

3

）+

1

2

≤1，即f（x）_max=1，f（x）_min=0．
（2）∵令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．