Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線3x﹣y+ =0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于點D、E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設M、P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為點O到直線3x﹣y+ =0的距離為

d= = ，

所以圓O的半徑為r= =2；

故圓O的方程為x2+y2=4

（2）解：設直線l的方程為 =1（a＞0，b＞0），

即bx+ay﹣ab=0；

由已知 =2，

即 = ；

所以DE2=a2+b2

=4（a2+b2）（ ）

=4（2+ + ）≥16；

當且僅當a=b=2 時取等號，

此時直線l的方程為x+y﹣2 =0

（3）解：設點M（x1，y1），P（x2，y2），

則N（x1，﹣y1），且 + =4 + =4，

直線MP與x軸交點為（ ，0），

則m= ；

直線NP與x軸交點為（ ，0），

則n= ．

所以mn=

=

= =4，

故mn為定值4

【解析】（1）由點O到直線3x﹣y+ =0的距離d，求出圓O的半徑r，寫出圓O的方程；（2）寫出直線l的方程，由d=r以及基本不等式求出DE2取最小值時對應的方程；（3）設出點M、P，根據(jù)對稱性寫出點N，利用圓的方程表示出直線MP、NP與x軸的交點坐標，得出m、n的值，計算mn即可．