Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）

∴

∴

∴數(shù)列{ }是以 為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

（2）解：由（1）得

∴an=

（3）解：∵Sn= + +…+

∴2Sn= + +…+

兩式相減可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）2n﹣3

∴Sn=（2n﹣3）2n+3＞（2n﹣3）2n

∴

【解析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），兩邊同除以2n ， 即可證明數(shù)列{ }是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列{ }的通項(xiàng)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）先錯(cuò)位相減求和，再利用放縮法，即可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．