Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）N是棱AB中點，求直線CN與平面MAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由勾股定理的逆定理得出AC⊥CD，故而CD⊥平面PAC；
（II）取PC的中點E，連結BE，ME，NE．可證PC⊥平面ABEM，于是∠CNE為直線CN與平面MAB所成的角．利用勾股定理計算CE，CN即可得出sin∠CNE．

解答 證明：（I）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$．
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵底面ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，
∴CD⊥AC．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
（II）取PC的中點E，連結BE，ME，NE．
∵M，E分別是PC，PC的中點，
∴ME∥CD，又CD∥AB，
∴EM∥AB，即AB與ME共面．
∵CD∥平面PAC，PC?平面PAC，
∴CD⊥PC，∵CD∥ME，
∴PC⊥ME．
又PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PB=BC，∵E是PC的中點，
∴BE⊥PC，又BE?平面ABEM，ME?平面ABEM，BE∩ME=E，
∴PC⊥平面ABEM．
∴∠CNE為直線CN與平面MAB所成的角．
∵PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴CE=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{2}$，
∵CN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠CNE=$\frac{CE}{CN}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線CN與平面MAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，作出平面的垂線，找出線面角是解題關鍵．