Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（2）討論函數(shù)的極值情況；

（3）當時，若直線與曲線沒有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝e； （2）當 時，無極值；當時，；（3）k≤1．

【解析】

試題分析：（1）由 ，得，

又曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，

∴ ，即，解得a＝e．

（2） ．

①當a≤0時，，f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，所以f（x）無極值；

②當a＞0時，令，得，，

x∈（-∞，lna），＜0；x∈（lna，+∞），＞0；

∴f（x）在∈（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

故f（x）在x＝lna處取到極小值，且極小值為 ，無極大值．

綜上，當a≤0時，f（x）無極值；當a＞0時，f（x）在x＝lna處取到極小值lna，無極大值．

（3）當a＝1時， ，令，

則直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）沒有公共點，

等價于方程g（x）＝0在R上沒有實數(shù)解．

假設(shè)k＞1，此時g（0）＝1＞0，，

又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理可知g（x）＝0在R上至少有一解，與“方程g（x）＝0在R上沒有實數(shù)解”矛盾，故k≤1．

又k＝1時，，知方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，

所以k的取值范圍是k≤1．

考點：考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和零點的存在性定理．