Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線與動直線的交點(diǎn)為，線段的中垂線與動直線的交點(diǎn)為.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過動點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：的大小為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意可得點(diǎn)的軌跡是拋物線．焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．

所以曲線的方程為．

(2) 由題意，設(shè)切線方程為，

聯(lián)立直線與拋物線方程，由題意可得，所以，為定值．

試題解析：

解:(1) 因?yàn)橹本�與垂直，所以為點(diǎn)到直線的距離．

連結(jié)，因?yàn)?/span>為線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，所以．

所以點(diǎn)的軌跡是拋物線．

焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．

所以曲線的方程為．

（2）由題意，過點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為，

聯(lián)立 得，

所以，即（*），

因?yàn)?/span>，所以方程（*）存在兩個不等實(shí)根，設(shè)為，，

因?yàn)?/span>，所以，為定值．