Question

設(shè)不等式組

x≤4 y≥0 y≤nx(x∈N*)

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a_n（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）．
（1）n=2時(shí)，先在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D₂，再求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，試證明：對(duì)任意n∈N^*恒有

S1

22S2

+

S2

32S3

+…+

Sn

(n+1)2Sn+1

＜

5

12

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，可求a₂的值；
（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用裂項(xiàng)法，放縮，求和即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）D₂如圖中陰影部分所示，
∵在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，
∴a₂=

5×9+5

2

=25．（3分）
（另解：a₂=1+3+5+7+9=25）
（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），
據(jù)題意有a_n=

5×(4n+1)+5

2

=10n+5．（6分）
（另解：a_n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）
（3）S_n=5n（n+2）．�。�8分）
∵

Sn

(n+1)2Sn+1

=

n(n+2)

(n+1)2(n+1)(n+3)

=

1

(n+1)(n+3)

•

n(n+2)

(n+1)2

＜

1

(n+1)(n+3)

，
∴

S1

22S2

+

S2

32S3

+…+

Sn

(n+1)2Sn+1

＜

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

（

1

2

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+3

）=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）＜

5

12

�。�13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．