Question

如圖，三棱錐P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

2=

AC

2=4

AB

2，M為棱PC的中點(diǎn)．
（I）求證：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，從而PA⊥AB，AB⊥PC，進(jìn)而AM⊥PC，由此能證明PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵三棱錐P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

2=

AC

2=4

AB

2，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC，
∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴AM⊥PC，
又AM∩AB=A，∴PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AC=2AB=2，則C（2，0，0），P（0，0，2），
B（0，1，0），A（0，0，0），

PC

=（2，0，-2），

PB

=（0，1，-2），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

PC • n =2x-2z=0 PB • n =y-2z=0

，
取z=1，得

n

=（1，2，1），
又平面PBA的法向量

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
∴二面角C-PB-A的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．