Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{

2n

an+1

}的前n項和，求S_n．
（3）證明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

5

3

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把給出的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式后得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入數(shù)列{

2n

an+1

}，整理后利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和；
（3）由

1

an+1

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

•

1

an

，設(shè)T=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an+1

，把

1

an+1

用含有

1

an

的代數(shù)式代換后得到T＜2-

1

2n+1-1

．求出2-

1

2n+1-1

的最小值得答案．

解答： （1）解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
又a₁=1，
故數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴an+1=2n，
an=2n-1；
（2）解：∵

2n

an+1

=

2n

2n

=

n

2n-1

，
∴Sn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
以上兩式相減，得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴Sn=4-

n+2

2n-1

；
（3）證明：∵

1

an+1

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

•

1

an

，
設(shè)T=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an+1

，
則T＜

1

a1

+

1

2

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

1

a1

+

1

2

(T-

1

an+1

)，
∴T＜2-

1

2n+1-1

．
∵當(dāng)n=1時2-

1

2n+1-1

的最小值為

5

3

．
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

5

3

（n∈N^*）．

點評：本題考查了由遞推式求數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，（3）的證明考查學(xué)生的靈活變形和思維能力，難度較大．