Question

在一張畫有直角坐標系的紙片中，作以點M（-1，0）為圓心，半徑為2

2

的圓，折疊紙片使圓周上的某一個點P恰好與定點N（1，0）重合，連接PM與折痕交于點Q，反復這樣折疊得到動點Q的集合．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過直線x=2上的點T向圓O：x²+y²=2作兩條切線，切點分別為A，B，若直線AB與（Ⅰ）中的軌跡E相交于C，D兩點，求

|AB|

|CD|

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,導數的綜合應用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可知|QP|=|QN|，從而有QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|MP|=2

2

，由定義知Q點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，易求橢圓方程；
（Ⅱ）設A（x₁′，y₁′），B（x₂′，y₂′），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則切線AT：x₁′x+y₁′y=2，BT：x₂′x+y₂′y=2，將T（2，t）代入得：2x₁′+ty₁′=2，2x₂′+ty₂′=2，可得直線AB的方程為2x+ty=2，由弦長公式可表示弦長|AB|=2

2t2+4 t2+4

，將AB方程與橢圓方程聯立，得（t²+8）y²-4ty-4=0，由韋達定理及弦長公式可表示|CD|=2

2

•

t2+4

t2+8

，于是

|AB|

|CD|

=

t2+8

t2+4

•

t2+2 t2+4

，通過換元構造函數，利用導數可求得范圍；

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知|QP|=|QN|，
故|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|MP|=2

2

，
故Q點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，
易得其方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設A（x₁′，y₁′），B（x₂′，y₂′），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），T（2，t），
則AT：x₁′x+y₁′y=2，BT：x₂′x+y₂′y=2，將T（2，t）代入得：2x₁′+ty₁′=2，2x₂′+ty₂′=2，
從而直線AB的方程為2x+ty=2，設O到AB的距離為d，則d=

2

t2+4

，
∴|AB|=2

2-d2

=2

2- 4 t2+4

=2

2t2+4 t2+4

，
將AB方程與橢圓方程聯立：

2x+ty=2 x2 2 +y2=1

，得（ty-2）²+8y²-8=0，即（t²+8）y²-4ty-4=0，
則y1+y2=

4t

t2+8

，y1y2=-

4

t2+8

，
故|CD|=

1+(- t 2 )2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ t2 4

•

16t2 (t2+8)2 + 16 t2+8

=

1

2

t2+4

•

32t2+128 (t2+8)2

=2•

t2+4

•

2t2+8

t2+8

=2

2

•

t2+4

t2+8

，
∴

|AB|

|CD|

=

t2+8

t2+4

•

t2+2 t2+4

，
記t²+4=s≥4，
則

|AB|

|CD|

=

(s+4)2(s-2) s3

=

s3-6s2-32 s3

=

-32( 1 s )2+6• 1 s +1

，
記

1

s

=m∈（0，

1

4

]，則

|AB|

|CD|

=

-32m3+6m+1

，
記f（m）=-32m³+6m+1，則f′（m）=-96m²+6=-6（16m²-1），
易知m∈（0，

1

4

]時，f′（m）≥0（僅當m=

1

4

時f′（m）=0），
故f（m）在（0，

1

4

]上單調遞增，
∴f（m）∈（1，2]，
∴

|AB|

|CD|

∈(1，

2

]．

點評：本題考查軌跡方程的求解、直線與橢圓的位置關系，考查利用導數研究函數的最值，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，正確表示|AB|，|CD|的長度是解決問題的關鍵所在．