Question

已知函數(shù)f（x）=

e2

x

-

a

x

-alnx（a∈R）（e≈2.718，

e

=1.6487，ln2=0.6931）．
（1）當a=0時，若f（x）在（2，f（2））的切線與以（1，-4）為圓心，半徑為r的圓相切，求r的值；
（2）當x＞

1

2

時，f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題,圓的切線方程

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用,直線與圓

分析：（1）當a=0時，f（x）=

e2

x

，f′（x）=-

e2

x2

；從而可得切線方程，再求半徑．
（2）f（x）＞0可化為a（1+xlnx）＜e²；從而化為a＜

e2

1+xlnx

；令h（x）=1+xlnx，h′（x）=lnx+1=0；從而求最值．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=

e2

x

，f′（x）=-

e2

x2

；
f（2）=

e2

2

，f′（2）=-

e2

4

；
故切線方程為e²x+4y-4e²=0，
則r=

|e2-16-4e2|

e4+16

=

16+3e2

e4+16

；
（2）f（x）＞0可化為
a（1+xlnx）＜e²；
故a＜

e2

1+xlnx

；
令h（x）=1+xlnx，h′（x）=lnx+1=0；
故x=

1

e

；
故h（x）=1+xlnx在（

1

2

，+∞）上增函數(shù)，
故h（x）＞1-

1

2

ln2；
故a＜

e2

1- 1 2 ln2

=

2e2

2-ln2

；
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，

2e2

2-ln2

）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題及最值問題，屬于中檔題．