Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x-1

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)?x∈[0，1]，不等式f（x）≤t-x恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（0）=0，即

a-1

3

=0
∴a=1----------------------（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)：a=1時(shí)f（x）=

2x-1

2x+1

是奇函數(shù)，滿足題意．--------（4分）
（2）f（x）是單調(diào)增函數(shù)
證明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

----------------------（7分）
∵x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．----------------------（10分）
（3）由題意分離t得：t≥f（x）+x對(duì)x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）
由（2）知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴f（x）+x在[0，1]上是單調(diào)增函數(shù)
∴f（x）+x在[0，1]上的最大值為f（1）+1=

4

3

----------------------（14分）
∴t≥

4

3

，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

4

3

，+∞）．----------------------（16分）