Question

19．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證PA∥平面EDB；
（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，交于點O，連結(jié)OE，則OE∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．
（2）以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大�。�

解答 證明：（1）連結(jié)AC，BD，交于點O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點，
∵點E是PC的中點，∴OE∥PA，
∵OE?平面EBD，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．
解：（2）以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)PD=DC=1，則D（0，0，0），P（0，0，1），
B（1，1，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
設(shè)二面角C-PB-D的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴二面角C-PB-D的大小為60°．

點評 本題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．