Question

已知函數(shù)f（x）=e^x．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=（x-k）f（x）（k∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=

a

f(x)

+x，a∈R，求g(x)的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)h（x）=（x-k）e^x（k∈R），
∴h′（x）=e^x（x-k+1），
x≥k-1時(shí)，h′（x）≥0；x＜k-1時(shí)，h′（x）＜0；
∴函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間為[k-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，k-1]；
（Ⅱ）由題意，g（x）=

a

ex

+x，則g′（x）=1-

a

ex

，
①a≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)在R上為增函數(shù)，∴函數(shù)無(wú)極值；
②a＞0時(shí)，令g′（x）=0，則x=lna，
∴x∈（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=lna處取得極小值，且極小值為g（lna）=lna+1，無(wú)極大值．
綜上，a≤0時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；a＞0時(shí)，g（x）在x=lna處取得極小值lna+1，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．