Question

已知a＞0且a≠1，f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）當函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）時，求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）f（x）定義域為R，在數(shù)軸上關于原點對稱，驗證f（-x）=-f（x），即可得出結論；
（2）利用定義法，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，再根據(jù)f（x₁）-f（x₂）與0的大小比較，對其進行化簡，然后再對a進行討論，從而求解；
（2）將f（1-m）+f（1-m²）＜0移項，利用奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性進行求解．

解答： 解：（1））f（x）定義域為R，在數(shù)軸上關于原點對稱．
∵f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-

a

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
∴f（x）是定義域R上的奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．                       
證明如下：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]=

a

a2-1

（ax1-ax2）（1+

1

ax1ax2

），
當a＞1時，a²-1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
當0＜a＜1時，a²-1＜0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴當a＞0且a≠1時，f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²），∴f（1-m）＜f（m²-1），
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，
解得1＜m＜

2

即為所求m 的取值范圍．

點評：此題主要考查函數(shù)的奇偶性，要知道偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x），奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），是一道中檔題．